抽象代数之基本概念
近世代数-基本概念
集合
笛卡尔积： \(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_n ) | a_i \in A_i\}\)为\(n\)个集合\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)的积（或笛卡尔积）。一般的，如果\(|A|=m,|B|=n,那么 |A \times B|=mn\).其中\(|A|读作A的阶，表示集合A当中元素的个数\)
映射
\[ \begin{aligned} &假设\phi是从笛卡尔积A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n到集合D的一个法则,如果A_1 \times A_2\\ &\times \cdots \times A_n中的每一个元素(a_1,a_2,\cdots,a_n )都有D中唯一的元素d与之对应，\\ &那么则称\phi是从A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n到D的一个映射。 \end{aligned} \]
代数运算
定义1：一个从\(A \times B\)到D的映射叫做\(A\times B\)到D的代数运算。
定义2：我们称\(A\times A\)到\(A\)的代数运算\(\omicron\)为\(A\)上的代数运算，或\(A\)上的二元运算，有时候也说集合\(A\)对于代数运算\(\omicron\)来说是封闭的，或\(\omicron\)具有封闭性。
运算律
（1）结合律：如果对于\(\forall a,b,c \in A\),都有
\[
(a\,\omicron\, b)\,\omicron\,c = a\,\omicron\,(b\,\omicron\,c)
\]
则称\(\omicron\)适合结合律。
（2）交换律：如果对于\(\forall a,b\in A\)都有
\[
a\,\omicron\,b=b\,\omicron\,a
\]
则称\(\omicron\)适合交换律。
（3）消去律：
①，若
\[
a\,\omicron\, b=a\,\omicron\,c \quad\Rightarrow \quad b=c
\]
则称\(\omicron\)适合左消去律;
②，若
\[
b\,\omicron\, a=c\,\omicron\,a \quad\Rightarrow \quad b=c
\]
则称\(\omicron\)适合右消去律;
③，若\(\omicron\)既适合左消去律又适合右消去律，则称\(\omicron\)适合消去律。
（4）分配律：
设\(\otimes,\oplus\)是集合A上的两个代数运算，\(\forall a_1,a_2,b \in A\).
①若 \(b\otimes(a_1\oplus a_2)=(b\otimes a_1)\oplus (b\otimes a_2)\)则称\(\otimes\)对于\(\oplus\)适合左分配律，或第一分配律。
②若 \((a_1\oplus a_2)\otimes b=(a_1\otimes b)\oplus (a_2\otimes b)\)则称\(\otimes\)对于\(\oplus\)适合又分配律，或第二分配律。
③若\(\otimes对于\oplus\)既适合左分配律又适合右分配律，则称\(\otimes 对于\oplus\)适合分配律。
映射与变换
定义一：
\[
\begin{aligned}
&设\phi :A\to \overline{A}是一个 映射，对于任意的a,b\in A,如果a \neq b \Rightarrow \phi(a) \neq \phi(b)\\&则称\phi是A到\overline{A}的单射。
\end{aligned}
\]
定理一：
\[
\begin{aligned}
\phi :A\to \overline{A}是单射当且仅当对于任意的a,b\in A \phi(a)=\phi(b)\Rightarrow a=b
\end{aligned}
\]
定义二：
\[
\begin{aligned}
&设\phi :A\to \overline{A}是一个 映射，对于任意的b\in \overline{A},都存在a\in A,有b=\phi(a),则\\&称\phi是从A到\overline{A}的满射。\color{red}{既是单设又是满射的映射称为一一映射（双射）。}
\end{aligned}
\]
定义三：
\[
\begin{aligned}
&设f:A\to B和g:B\to C是两个映射，规定g \,\omicron\,f:A\to C为对于任意的\\&x\in A,g \,\omicron\,f(x)=g(f(x)),则称g \,\omicron\,f为f与g的复合映射。
\end{aligned}
\]
定义四：
\[
\begin{aligned}
&设f:A\to B和g:B\to A是两个映射，如果f\, \omicron\,g=id_B:B\to B\\
&且g\,\omicron\, f=id_A:A\to A,则称f与g互为逆映射。
\\& \tiny{_{id_x表示恒等映射，即自己映射为自己本身}}
\end{aligned}
\]
定理二：单射的复合是单射，满射的复合是满射，双射的复合式双射。
定理三：双射存在唯一的逆映射，且这个逆映射也是双射。
定义五：一个\(A\)到\(A\)的映射叫做\(A\)的一个变换，一个\(A\)到\(A\)的单射、满射或者一一映射叫做\(A\)的一个单射变换、满射变换或者一一变换。
同态
定义一：设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，\(\phi:A\to \overline{A}\)是一个映射，若对于任意的\(a,b\in A\)，都有
\(\phi(a\omicron b)=\phi(a)\overline{\omicron}\phi(b)\),(乘积的像等于像的乘积)，则称\(\phi\)是从\(A\)到\(\overline{A}\)的同态映射，满的同态映射也称为同态满射，或满同态，若\(A\)到\(\overline{A}\)存在满同态，则称两个代数系统\(A,\overline{A}\)是同态的，记为\(A\,\sim\,\overline{A}\)。
定理一：设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，若\(A \sim \overline{A}\)则
①若\(\omicron\)适合结合律，那么\(\overline{\omicron}\)也适合结合律。
②若\(\omicron\)适合交换律，那么\(\overline{\omicron}\)也适合交换律。
定理二：设\((A,\odot,\oplus),(\overline{A},\overline{\odot},\overline{\oplus})\)是两个代数系统，\(\varphi:A\to \overline{A}\)是满射，若对于任意的\(a,b\in A\)，有\(\varphi(a\odot b)=\varphi(a)\overline{\odot}\varphi(b)),\quad \varphi(a\oplus b)=\varphi(a)\overline{\oplus}\varphi(b)\)，则:
①若\(\odot,\oplus\)满足第一分配律，那么\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也适合第一分配律。
②若\(\odot,\oplus\)满足第二分配律，那么\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也适合第二分配律。
定理三：同态映射的复合映射必定是同态映射（满同态的复合一定是满同态，单同态的复合一定是单同态，同构的复合一定是同构）
同构与自同构
定义一：
设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，\(\varphi:A\to\overline{A}\)是两个系统之间的一个映射，如果\(\varphi\)既是双射又是同态映射，则称\(\varphi\)是从\(A\)到\(\overline{A}\)的同构映射。
若\(A,\overline{A}\)之间存在同构映射，则称\(A\)与\(\overline{A}\)同构，记为\(A\cong\overline{A}\)。特别的，当\(\overline{A}=A,\overline{\omicron}=\omicron\)时，我们也称同构映射\(\varphi:A\to\overline{A}\)为A上的自同构。
定理一：
同构具有以下 性质：
①\(A\cong A\);(\(id_a\));
②若\(A\cong\overline{A}\)，则\(\overline{A}\cong A\);
③若\(A\cong\overline{A},\overline{A}\cong\overline{\overline{A}}\)，则\(A\cong\overline{\overline{A}}\).
定理二：
设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，若\(A \cong \overline{A}\)则
①\(\omicron\)适合结合律当且仅当\(\overline{\omicron}\)也适合结合律。
②\(\omicron\)适合交换律当且仅当\(\overline{\omicron}\)也适合交换律。
③\(\omicron\)适合左(右)消去律当且仅当\(\overline{\omicron}\)也适合左(右)消去律。
定理三：设\((A,\odot,\oplus),(\overline{A},\overline{\odot},\overline{\oplus})\)是两个代数系统，如果\(A\cong\overline{A}\),那么\(\odot,\oplus\)适合左(右)分配律当且仅当\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也适合左(右)分配律。
推论：设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，如果\(\omicron\)适合某种运算律\(P\)而\(\omicron\)不适合运算律\(P\)，那么\(A\)与\(\overline{A}\)不同构。
等价关系与集合分类
定义一：设\(A\)是一个集合，\(D=\{对,错\}\)，则称映射\(R:A\times A\to D\)为集合A上的一个关系，当\(R(a,b)=对\)时，称\(a\)与\(b\)有关系\(R\)，记为\(aRb\)；当\(R(a,b)=错\)时，称\(a\)与\(b\)没有关系\(R\)。
定义二：设\(A\)是一个非空集合，我们把\(A\times A\)的一个子集\(\overline{R}\)称为\(A\)上的一个关系，对于任意的\((a,b\in A\times A)\)当\((a,b)\in\overline{R}\)，称\(a\)与\(b\)有关系\(\overline{R}\)，记为\(a\overline{R}b\)；当\((a,b)\notin\overline{R}\)时，称\(a\)与\(b\)没有关系\(R\)。
定理一：关系的两个定义等价。
定义三：设\(\sim\)是集合\(A\)上的一个关系，如果\(\sim\)还满足：
①自反性：\(a\sim a\)；(反射律)
②对称性：若\(a\sim b\)则，\(b\sim a\)；(对称律)
③传递性：若\(a\sim b,b\sim c\)，则\(a\sim c\)；(推移律)
则称\(\sim\)为A上的一个等价关系，若\(a\sim b\)则称a与b等价。
定义四：设\(A\)是一个集合，\(S=\{S_i|S_i\subseteq A\}\)。若
①\(\cup S_i=A\)；
②对于任意的\(i,j,S_i\cap S_j=\emptyset\)，
则称\(S\)为\(A\)上的一个分类(划分)，每一个\(S_i\)都称为是\(S\)的一个类(块)。
定理二： \(A\)的一个分类决定了\(A\)上的一个等价关系。（例如：\(a\sim b\)当且仅当a,b属于S中的一个类）
定理三： \(A\)上的一个等价关系决定\(A\)的一个分类。
定义五：设\(S=\{S_i\}\)是集合A的一个分类，任意的\(A\in S_i\)都叫做\(S_i\)的代表，刚好有每一类的一个代表构成的集合叫做一个\(全体代表团\)。
近世代数-群论
群的定义
定义一（群的第一定义）：设\(G\neq\emptyset\)，\(\omicron\)是定义在\(G\)上的一个映射，若：
Ⅰ，对于任意的\(a,b\in G\)，都有\(a\omicron b\in G\)；
Ⅱ，对于任意的\(a,b,c\in G\)，都有\((a\omicron b)\omicron c=a\omicron(b\omicron c)\)；
Ⅲ，对于任意的\(a,b\in G\)，方程\(a\omicron x=b\)和\(y\omicron a=b\)在G中都有解
则称\(G\)关于\(\omicron\)构成一个群，记为\((G,\omicron)\)，\(\omicron\)也称为\(G\)上的乘法。
定理一：
Ⅳ，存在\(e\in G\)，对于任意的\(a\in G\)，有\(ea=a\)。(称\(e\)为群\(G\)的左单元)。
定理二：
Ⅴ，对于任意的\(a\in G\)，存在\(a^{-1}\in G\)，有\(a^{-1}a=e\)(称\(a^{-1}\)为群\(G\)中元素\(a\)的左逆元）
定义二：设\(G\neq \emptyset\)，\(\omicron\)是定义在G上的一个映射，若：
Ⅰ，对于任意的\(a,b\in G\)，都有\(a\omicron b\in G\)；
Ⅱ，对于任意的\(a,b,c\in G\)，都有\((a\omicron b)\omicron c=a\omicron(b\omicron c)\)；
Ⅳ，存在\(e\in G\)，对于任意的\(a\in G\)，有\(ea=a\)。(称\(e\)为群\(G\)的左单元)。
Ⅴ，对于任意的\(a\in G\)，存在\(a^{-1}\in G\)，有\(a^{-1}a=e\)(称\(a^{-1}\)为群\(G\)中元素\(a\)的左逆元）
则称\(G\)关于\(\omicron\)构成一个群，记为\((G,\omicron)\)，\(\omicron\)也称为\(G\)上的乘法。
定理三： \(a\)的左逆元\(a^{-1}\)必定也是\(a\)的右逆元。
定理四： \(G\)的左单位元\(e\)必定也是\(G\)的右单位元。
注记：
（1）元素有限的群称为有限群，元素无限的群称为无限群。
（2）满足交换律的群称为交换群，也称之为阿贝尔群。
定义三：设\(G\)是一个群，\(a\in G\)，则称\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots \cdot \cdot a}_{n个}\)为\(a\)的\(n\)次幂（\(n\)为正整数）。
定理五：设\(a,b\)是群\(G\)中的元素，\(m,n\in \mathbb{Z_+}\)，则有
（1）\(\displaystyle{a^{m+n}=a^ma^n,\qquad (a^m)^n=a^{mn}}\)
（2）当\(G\)是交换群时，\((ab)^n=a^nb^n\)
单位元、逆元和消去律
定理一：左单位元\(e\)存在且唯一（\(e\)也称为单位元）
定理二：元素\(a\)的左逆元\(a^{-1}\)存在且唯一（\(a^{-1}\)也称为逆元）
注记：设\(G\)是一个群，\(e\)是单位元，\(a,b\in G\)，那么若\(ab=e\)，则\(a,b\)互为逆元，特别的，若\(a^{2}=a\)，则\(a^{-1}=a\)，进而\(e^{-1}=e\)。
定理三：设\(G\)是一个群，\(a,b\in G\)，则：
（1）\((a^{-1})^{-1}=a;\)
（2）\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)，一般的，有\((a_1a_2\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_2^{-1}a_1^{-1})\)进而\((a^n)^{-1}=(a^{-1})^n\)。
定义一：设\(G\)是一个群，\(a\in G,n\in \mathbb{Z^-}\)，规定：\(a^0=e,\quad a^n=(a^{-1})^{-n}=\underbrace{a^{-1}\cdot a^{-1}\cdots a^{-1}}_{(-n)个}\).
定理四：设\(G\)是一个群，\(a\in G ,m,n\in \mathbb{Z}\)，则:
（1）\(a^ma^n=a^{m+m}\)
（2）\((a^m)^n=a^{mn}\)
定理五：设\(G\)是一个交换群，\(a\in G,n\in \mathbb{Z}\)，则\((ab)^n=a^nb^n\)
定义二：设\(a\in G\)，则称使得等式\(a^m=e\)成立的最小的正整数\(m\)为\(a\)的阶，记为\(|a|\)或者\(\omicron(a)\)。若这样的阶不存在，则称\(a\)是无限阶的，记为\(|a|=\infty\)。
定理六：在群\(G\)中，\(a\in G\)则：
（1）一个元的阶为1当且仅当这个元就是单位元；
（2）一个元的逆元等于自身当且仅当它的平方是单位元。
定理七：在群\(G\)中，\(a\in G\)，则\(|a|=|a^{-1}|\)。
定理八：群的乘法适合消去律，即：
\(Ⅲ':\)若\(ax=ax'\)，则\(x=x'\)（左消去律）
若\(ya=y'a\)，则\(y=y'\)（右消去律)
定理九：一个有限群的每一个元的阶都有限。
有限群的另一定义
定理一：设\(G\)是有限集，\(\cdot\)是定义在\(G\)上的映射，若\(\cdot\)适合公理Ⅰ、Ⅱ、\(Ⅲ'\)，那么它也适合Ⅲ。
定义一（有限群的第三定义）：设\(G\neq \emptyset\)，\(\omicron\)是定义在\(G\)上的一个映射，若满足公理Ⅰ、Ⅱ、\(Ⅲ'\)，则称\(G\)关于\(\omicron\)构成一个有限群。
群的同态
定理一:设\((G,\omicron)\)是一个群，\((\overline{G},\overline{\omicron})\)是一个代数系统，如果\(G\sim \overline{G}\)，那么\(\overline{G}\)也是一个群。
定理二：设\(\phi\)是群\(G\)到群\(\overline{G}\)的同态映射，那么\(G\)的单位元的像是\(\overline{G}\)的单位元；\(a\in G\)的逆元\(a^{-1}\)的像是\(a\)的像\(\phi(a)\)的逆元。
变换群
定理一：集合\(A\)上的所有一一变换的集合\(G\)关于变换的乘法（复合）构成群。
定理二：设\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定义为：$$
\[\begin{aligned} \sigma \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta &{-\sin\theta}\\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \quad (\theta \in \mathbb{R}) \end{aligned}\]
$$
证明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一变换，也称\(\sigma\)为以原点为中心的旋转变换，简称旋转。
定理三：设\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定义为：
$$\[\begin{aligned} \sigma \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda &0\\ 0 &\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x\\ \lambda y \end{pmatrix} \quad (\lambda \neq 0) \end{aligned}\]
$$
证明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一变换，也称\(\sigma\)为以原点为中心的位似变换，简称位似。
定理四：设\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定义为：
\[
\sigma
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+a\\
y+a
\end{pmatrix}
\]
证明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一变换，也称\(\sigma\)为以原点为中心的平移变换，简称平移。
定义一：若集合\(A\)上的若干一一变换对于变换的乘法作成群，则称这样的群为变换群。
定理五（凯莱定理）：任何一个群\(G\)都同构于一个变换群（该群所有的一一变换构成的变换群）。
置换群
定义一：有限集上的一一变换叫做置换，同一集合上的若干置换构成的群叫做置换群。包含\(n\)个元素的集合上的全体置换作成的群，称为\(n\)次对称群，记为\(S_n\)。
定理一（有限群的凯莱定理）：任何一个有限群都同构与一个置换群。
定理二： \(n\)次对称群\(S_n\)的阶是\(n!\)，即\(|S_n|=n!\)。
定理三：置换可以表示为若干个不相交（没有相同的元素，例如(12)(34)）循环置换的乘积。
定理四：任何一个循环置换都可以表示为若干个对换的乘积。（k循环可以表示为至少k-1个对换的乘积）
定义二：在\(S_n\)中，能够表示为奇数多个对换乘积的置换称为奇置换，能够表示为偶数个对换乘积的置换称为偶置换，并且把所有偶置换的集合记为\(A_n\)
定理五： \(n\geq2\)时，\(S_n\)中奇置换和偶置换各占一半，即\(|A_n|=\frac{n!}{2}\)。
定理六：两个不相交的循环置换的乘积可以交换
定理七： \(k\)循环的逆元等于反序写出的循环，即：\((i_1i_2\cdots i_k)^{-1}=(i_k\cdots i_2i_1)=(i_1i_k\cdots i_2)\)。特别地，对换的逆元等于自身。
定理八：
（1）k循环的阶等于k;
（2）如果一个置换可以表示为一个k循环和一个l循环的乘积，那么\(|\sigma|=lcm(k,l)\)，这里\(lcm(k,l)\)表示\(k,l\)的最小公倍数。
循环群
注解：欧拉函数\(\phi(n)\)定义为小于n且与n互素的非负整数的个数。
定义一：设\(G\)是一个群，\(a\in G\)，如果对于任意的\(b\in G\)，都存在\(m\in \mathbb{Z}\)，有\(b=a^m\)，则称\(a\)为群\(G\)的生成元，群\(G\)为一个循环群，记为\(G=(a)\)。
注解：整数加群\((\mathbb{Z},+)\)是一个循环群。
定理一(循环群基本定理)：设\(G=(a)\)，则
（1）若\(|a|=\infty\)，则\(G\cong(\mathbb{Z},+)\);
（2）若\(|a|=n\)，则\(G\cong(\mathbb{Z}_n,+)\)
推论假设\(G=(a)\)，则
(1)若\(|a|=\infty\)，则\(G\)恰好有两个生成元\(a,a^{-1}\)；
(2)若\(|a|=n\)，则\(G\)至少有两个生成元\(a,a^{-1}\)(分别对应[1]，[n-1])；
(3)\(|a|=\infty\)当且仅当\(|G|=\infty\)；
(4)\(|a|=n\)当且仅当\(|G|=n\)；
定理二：设\(G=(a)\)是一个\(n\)阶循环群，则
(1)\(|a^r|=\frac{n}{(r,n)}\)；
(2)当\((r,n)=1\)时，\(a^r\)也是一个生成元；
(3)\(G\)中有欧拉函数\(\varphi{(n)}\)个生成元。（\(\varphi{(n)}\)表示小于\(n\)，且与\(n\)互素的非负整数的个数）
推论：循环群一定是交换群
子群
定义一：设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的一个非空子集，如果\(H\)关于\(G\)的乘法也能做成群，则称\(H\)是\(G\)的子群，记为\(H\leq G\)。如果子群\(H\)真包含于G，也称\(H\)是\(G\)的真子群，记为\(H<G\)。
定理一（子群第一判定定理）：设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的一个非空子集，则\(H\leq G\)当且仅当
(1)\(a,b\in H\)，都有\(ab\in H\)；
(2)\(a\in H\)，有\(a^{-1}\in H\)。
推论：设\(H\leq G\)，则\(e_H=e_G,a_H^{-1}=a_G^{-1}\)。
定理二（子群第二判定定理）：设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的一个非空子集，则\(H\leq G\)当且仅当\(a,b\in H\)，有\(ab^{-1}\in H\)。
定理三（子群第三判定定理）：设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的一个非空有限子集，则\(H\leq G\)当且仅当\(a,b\in H\)，有\(ab\in H\)。
推论：设\(G\)是一个有限群，\(H\)是\(G\)的非空子集，则\(H\leq G\)当且仅当\(a,b\in H\)，有\(ab\in H\)。
定理四：设\(G\)是一个群，\(S\)是\(G\)的一个非空子集，则\((S)=\{\underbrace{a^mb^n\cdots c^k}_{有限个}|a,b,\cdots ,c \in S,m,n,k\in \mathbb{Z}\}\)是\(G\)的一个子群，且是包含\(S\)的最小子群（称为\(S\)的生成子群）
子群的陪集
定义一：设\(H\leq G,a\in G\)，称\(aH=\{ah|h\in H\} \quad (Ha=\{ha|h\in H\})\)为子群\(H\)的左陪集（右陪集）。如果\(aH=Ha\)，则称它们为子群\(H\)的陪集。
命题一：设$ HG,a,bG$，则
(1)\(a\in aH \quad (a\in Ha)\)
(2)\(a\in bH \Leftrightarrow aH=bH \Leftrightarrow a^{-1}b\in H\)( \(a\in Hb \Leftrightarrow Ha=Hb \Leftrightarrow ab^{-1}\in H\))
(3)\(|aH|=|Ha|=|H|\)
定理一：设\(S_l,S_r\)分别是群\(G\)关于子群\(H\)的左、右陪集分解，则\(|S_l|=|S_r|\)
定义二：设\(H\leq G,s_l,S_r\)分别是\(G\)关于\(H\)的左、右陪集分解，称\(|S_l|=|S_r|\)为\(H\)在\(G\)中的指数，记为\([G:H]\)。
定理二（拉格朗日定理）：设\(G\)是一个有限群，\(H\leq G\)，则\([G:H]=\frac{|G|}{|H|},\quad (|G|=|H|\cdot [G:H])\)，即\(|H|,[G:H]\)都整除\(|G|\)。
定理三：设\(G\)是一个有限群，\(a\in G\)，则\(|a|\)整除\(|G|\)。
命题二：设\(G\)是一个群，\(e\)是单位元，\(a\in G,m,n,k\)都是正整数，则
(1)若\(|a|=k,a^m=e\)，则\(k|m\)；
(2)若\(m|k,n|k,(m,n)=1\)，则\(mn|k\)；
(3)若\(m|kn,(m,n)=1\)，则\(m|k\)。
不变子群和商群
定义一：设\(N\leq G\)，如果对于任意的\(a\in G\)，都有\(aN=Na\)，则称群\(N\)是群\(G\)的不变子群（或正规子群），记为\(N\vartriangleleft G\)。\(N\)的一个左陪集（也是右陪集）称为\(N\)的一个陪集。
推论一：
(1)循环群的子群都是不变子群。
(2)素数阶群的任何子群都是不变子群。
定义二：设\(S_1,S_2,\cdots ,S_m \subseteq G\)，称\(S_1S_2\cdots S_m=\{s_1s_2\cdots s_m|s_i\in S_i\}\)为\(G\)的子集\(S_1,S_2,\cdots ,S_m\)的乘积。
命题一：群中子集的乘积满足结合律，即\((S_1S_2)S_3=S_1(S_2S_3)\)
定理一：设\(N\leq G\)，则\(N\vartriangleleft G\)当且仅当对于任意的\(a\in G\)，有\(aNa^{-1}=N\)。
定理二：设\(N\leq G\)，则\(N\vartriangleleft G\)当且仅当对于任意的\(a\in G\)和任意的\(n\in N\)，有\(ana^{-1}\in N\)。
定理三：设\(N\vartriangleleft G\)，\(G/N=\{aN,bN,\cdots\}\)是群\(G\)关于其不变子群\(N\)的一个陪集分解，对于任意的\(xN,yN\in S\)，定义\(xN\cdot yN=(xy)N\)，则\(G/N\)关于上述法则作成一个群，称之为群\(G\)关于不变子群\(N\)的商群。
推论二：设\(G\)是有限群，\(N\vartriangleleft G\)，则\(|G/N|=\frac{|G|}{|N|}\)。
同态与不变子群
定理一：一个群\(G\)同它的每一个商群\(G/N\)同态。
推论一：交换群的每一个商群都是交换群。
定义一：设\(G,\bar{G}\)都是群，\(\phi:G\to \bar{G}\)是一个满同态，则称\(ker\phi=\{a\in G|\phi(a)=\bar{e}\}\)为满同态\(\phi\)的核。
定理二（同态基本定理：）设\(G,\bar{G}\)都是群，\(\phi:G\to \bar{G}\)是一个满同态，则\(N=ker\phi\vartriangleleft G\)，且$G/N {G} $。
定义二：设\(\phi:A\to \bar{A}\)是一个满射
(1)如果\(S\subseteq A\)，则称\(\phi(S)=\{\phi(a)|a\in A\}\)为\(S\)在\(\phi\)下的象。
(2)如果\(\bar{S}\subseteq \bar{A}\)，则称\(\phi^{-1}(\bar{S})=\{\phi^{-1}(\bar{a})|\bar{a}\in \bar{A}\}\)为\(\bar{S}\)在\(\phi\)下的逆象，或者原象。
定理三：设\(G,\bar{G}\)都是群，\(\phi:G\to \bar{G}\)是一个满同态，则
(1)若\(H\leq G\)，则\(\phi(H)\leq \bar{G}\)；
(2)若\(N\vartriangleleft G\)，则\(\phi(N)\vartriangleleft \bar{G}\)
定理四：设\(G,\bar{G}\)都是群，\(\phi:G\to \bar{G}\)是一个满同态，则
(1)若\(\bar{H}\leq \bar{G}\)，则\(\phi^{-1}(\bar{H})\leq G\)；
(2)若\(\bar{N}\vartriangleleft \bar{G}\)，则\(\phi^{-1}(\bar{N})\vartriangleleft G\)
近世代数-环与域
环的定义
定义一：设集合\(R\neq \emptyset , + ,\cdot\)是\(R\)上定义的两个映射，如果
(1)\((R,+)\)构成交换群；
(2)\((R,\cdot)\)中群公理Ⅰ，Ⅱ成立（构成半群）；
(3)左右分配律\(c\cdot(a+b)=c\cdot a+a\cdot b,\quad(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\)成立，
则称\(R\)关于\(+,\cdot\)作成一个环，记为\((R,+,\cdot)\)。
ps：加群当中的单位元改称为零元，记为0，元素\(a\)在加群中的逆元改称为负元记为\(-a\)，\(a+(-b)\)简写为\(a-b\)，读作\(a\)减\(b\)。
注记：我们把所有非零元关于乘法能作成交换群的环叫做域。
定理一：环\((R,+,\cdot)\)具有一下性质：
(1)\(0+a=a+0=a\)；
(2)\(-a+a=a-a=0\)；
(3)\(-(-a)=a\)；
(4)\(a+c=b\)等价于\(c=b-a\)；
(5)\(-(a+b)=-a-b,-(a-b)=-a+b\)。
定义二：设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(n\in \mathbb{Z_+}\)，称\(na=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n个}\)为\(a\)的\(n\)倍，简称\(n\)倍\(a\)。
定义三：设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(n\in \mathbb{Z_-}\)，规定\(0a=0,\quad na=\underbrace{(-a)+(-a)+\cdots+(-a)}_{-n个}\)这里\(0a=0\)中，第一个\(0\)是整数零，第二个\(0\)是环中的零元。
定理二： 设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(a\in R,n\in \mathbb{Z_+}\)，则\((-n)a=n(-a)=-(na)\)。
定理三：环\((R,+,\cdot)\)具有以下性质：
(6)\(ma+na=(m+n)a,\quad m\cdot na=mn\cdot a,\quad n(a+b)=na+nb\)
定理四：环\((R,+,\cdot)\)具有以下性质：
(7)\((a-b)c=ac-bc,c(a-b)=ca-cb\)；
(8)\(0a=a0=0\)；（这里的\(0\)指的是零元）
(9)\((-a)b=a(-b)=-ab\)；
(10)\((-a)(-b)=ab\)；
(11.1)\(a(b_1+b_2+\cdots+b_n)=ab_1+ab_2+\cdots+ab_n\)；
(11.2)\((b_1+b_2+\cdots+b_n)a=b_1a+b_2a+\cdots+b_na\)；
(12)\((a_1+a_2+\cdots+a_m)(b_1+b_2+\cdots+b_n)=a_1b_1+\cdots+a_1b_n+\cdots+a_mb_1+\cdots+a_mb_n\)；
(13)\((na)b=a(nb)=n(ab)\)；(\(n\)是任意整数)
(14)\(a^ma^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn}\)。（\(m.n\)是任意整数）
零因子环和环的分类
定义一：设\(R\)是一个换，\(a,b\)是\(R\)中的两个非零元，如果\(ab=0\)，则称\(a\)是\(R\)的一个左零因子，\(b\)是\(R\)的一个右零因子，如果一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为一个零因子。
定理一：在一个无零因子的环中，乘法消去律成立：
(1)\(a\neq0,\quad ab=ac \Rightarrow b=c\)；
(2)\(a\neq 0,\quad ba=ca\Rightarrow b=c\)。
反过来，在一个环里，如果有一个消去律成立，那么这个环 没有零因子。
推论一：在一个环中，如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。
定义二：设\(R\)是一个环，
(1)如果\(R\)的乘法适合交换率，则称\(R\)是交换环；
(2)如果\(R\)有乘法单位元，则称\(R\)是含幺环；
(3)如果\(R\)不含任何零因子，则称\(R\)是无零因子环；
(4)同时满足(1)、(2)、(3)条件的环，称为整环。
定义三：设\(R\)是一个环，如果
(1)\(R\)至少包含一个非零元；
(2)\(R\)有乘法单位元；
(3)\(R\)的每一个非零元都有乘法逆元。
则称\(R\)是一个除环，交换除环称为域。
除环和域的例子与性质
命题一：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。
命题二：除环是无零因子环。
命题三：设\((R,+,\cdot)\)是一个除环。，\(R^*=R-\{0\}\)，则\((R^*,\cdot)\)作成一个群，我们将\(R^*\)称为除环\(R\)的乘群
定义一（域的第二定义）：设非空集合\(F\)上定义有两种法则\(+,\cdot\)，如果\((F,+),(F^*,\cdot)\)都是交换群，且\(+,\cdot\)适合分配律，则称\(F\)是一个域。
命题四在一个域\(F\)中，\(a,b,c,d\in F,b\neq 0,d\neq 0\)，则：
(1)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bc\)；
(2)\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\)；
(3)\(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)。
无零因子环的特征
规则：在一个环\((R,+,\cdot)\)中，我们规定：
(1)\(\forall a\neq0,\forall m \in\mathbb{Z_+},ma=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{m个} \neq0\)，即非零元的加法阶都是无限大
定理一：设\(R\)是一个无零因子环，则\(R\)中所有非零元对于加法来说，阶都相同（无限大认为是相同的）。
定义一：一个无零因子环\(R\)的非零元的相同的（对于加法来说）阶叫做环\(R\)的特征。
定理二：如果无零因子环\(R\)的特征是有限整数\(n\)，那么\(n\)是素数。
推论一：整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数\(P\)
命题一：在一个特征是\(P\)的交换环里，有\((a+b)^p=a^p+b^p\)。
子环和环的同态
定义一：设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(\neq S \subseteq R\)，如果\((S,+,\cdot)\)也是一个环，则称\(S\)是环\(R\)的一个子环，记作\(S\leq R\)。
PS：类似的还可以定义子除环、子整环、子域
定理一：
(1)设\(R\)是一个环，则\(\neq S \subseteq R\)是R的子环，当且仅当对于任意的\(a,b\in S,a-b\in S,ab\in S\)；
(2)设\(R\)是除环（域），则\(\neq S \subseteq R\)是R的子除环（子域），当且仅当对于任意的\(a,b\in S,a-b\in S\)，且任意的\(a,b\in S,b\neq0,ab^{-1}\in S\)。
定理二：设\(R\)是一个环，\(\neq \bar{R}\)上有两种代数运算：\(\bigoplus,\bigotimes\)。如果纯在漫射\(\phi:R\to \bar{R}\)，使得\(\phi\)对于一对加法和一队乘法都是同态映射，则\(\bar{R}\)也是一个环。
定理三：设\(R,\bar{R}\)是两个环，且\(\phi:R\to \bar{R}\)是满同态映射（对于两种运算），则
(1)零元的同态像是零元；
(2)负元的同态像是负元；
(3)单位元的同态像是单位元；
(4)\(R\)是交换环，则\(\bar{R}\)也是交换环。
定理四：假定\(R,\bar{R}\)是两个环，且\(R \cong \bar{R}\)，那么
(1)若\(R\)是整环，则\(\bar{R}\)也是整环；
(2)若\(R\)是除环，则\(\bar{R}\)也是除环；
(3)若\(R\)是域，则\(\bar{R}\)也是域。
定理五：设\(A,\bar{A}\)是两个非空集合，\(\phi:A\to \bar{A}\)是一一映射，如果\(A\)有加法\(+\)和乘法\(\cdot\)，那么适当的为\(\bar{A}\)规定加法和乘法，可以使得\(A \cong \bar{A}\)。
定理六（补足定理）：设\(S\)是环\(R\)的子环，\(S\cong \bar{S}\)，且\((R-S)\bigcap\bar{S}=????\)，则存在环\(\bar{R}\)与\(R\)同构，且\(\bar{S}\leq\bar{R}\)。
多项式环
定理一：设\(F\)是一个域，则关于数域上的行列式理论，多项式理论，线性方程组理论，矩阵运算理论，线性空间和线性变换理论在域\(F\)上都成立。
定义一：设\(R_0\)是一个有单位元的交换环，\(R\leq R_0\)，且\(R\)包含\(R_0\)的单位元，\(\alpha \in R_0\)，则称\(a_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n(a_i\in R)\)为\(R\)上的\(\alpha\)的一个多项式，\(a_i\)叫做多项式的系数。
命题一： \(R[\alpha]=\{f(\alpha)=a_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n| a_i\in R,\alpha\in R_0,n是非负整数\}\)是\(R_0\)的包含\(R\)和\(\alpha\)的最小子环。（称\(R[\alpha]\)为R上的多项式环）
推论一：多项式环\(R[\alpha]\)是有单位元的交换环。
定义二：设\(x\in R_0\)，如果不存在不全为零的元\(a_0,a_1,\cdots,a_n\)使得\(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0\)，则称\(x\)为\(R\)上的一个未定元。
命题二： \(x\in R_0\)为\(R\)上的一个未定元，当且仅当，若\(R\)上\(x\)的多项式\(a0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0\)，则系数\(a_0=a_1=a_2=\cdots=a_n=0\)。（即零多项式的表示法唯一）
命题三：环\(R\)上未定元\(x\)的多项式\(f(x)\)的表示法唯一。
定义三：设\(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,a_n=0\)是环\(R\)上的一个一元多项式，那么非负整数\(n\)叫做这个多项式的次数。规定多项式0没有次数。.
定理二：设\(R\)是一个含幺交换环，则\(R\)上必定存在未定元\(x\)，因此也就有\(R\)上的多项式环\(R[x]\)存在。
定义四：形如\(\Sigma_{i_1,i_2,\cdots,i_n}a_{i_1,i_2,\cdots,i_n} \alpha_1^{i_1}\alpha_2^{i_2}\cdots\alpha_n^{i_n}\)的元叫做\(R\)上的元\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)的一个多项式，\(a_{i_1,i_2,\cdots,i_n}\)叫做多项式的系数（这里\(a_{i_1,i_2,\cdots,i_n}\in R\)但是只有有限个不为0）
环\(R[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_3]=R[\alpha_1][\alpha_2]\cdots[\alpha_n]\)叫做\(R\)上的\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_3\)的多项式。
命题四：多项式环\(R[\alpha_1,\alpha_2]\)中，\(\alpha_1\alpha_2=\alpha_2\alpha_1\)。
定义五：设\(n\)个元\(x_1,x_2,\cdots,x_n\in R_0\)，如果任何一个\(R\)上的\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的多项式都不会等于\(0\)，除非这个多项式的所有系数都等于\(0\)，那么则称\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)为\(R\)上的无关未定元。
定理三：设\(R\)是一个含幺交换环，\(n\in\mathbb{Z_+}\)，则\(R\)上无关未定元\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)必定存在，\(R\)上的多项式环也一定存在。
定理四：设\(R[x_1,x_2,\cdots,x_n]\)和都\(R[x_1,x_2,\cdots,x_n]\)是有单位元的交换环\(R\)上的环多项式，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是\(R\)上的无关未定元，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(R\)上的任意元，那么多项式环\(R[x_1,x_2,\cdots,x_n]\)\(\sim\)\(R[x_1,x_2,\cdots,x_n]\)。
理想
定义一：设 \(\emptyset \neq \mathscr{U} \subseteq\) 环\(R\)，如果
(1)对于任意的\(a,b\in\mathscr{U}\)都有，\(a-b\in \mathscr{U}\)；
(2)对于任意的\(a\in\mathscr{U},r\in R\)吗，都有\(ra,ar\in\mathscr{U}\)(强闭合性)
则称\(\mathscr{U}\)是环\(R\)的理想子环，简称理想，记作\(\mathscr{U}\vartriangleleft R\)。
命题一：理想必定是子环。
注解一：子环未必是理想，反例：整数环\(\mathbb{Z}\)是有理数环\(\mathbb{Q}\)的子环，但是不是有理数环\(\mathbb{Q}\)的理想。
定理一：除环和域只有平凡理想。
注解二：两个理想的并未必还是理想。
命题二：设\(R\)是一个环，\(a\in R\)，则
\(\mathscr{U}=\{(\displaystyle\sum_{i=1}^mx_iay_i)+sa+at+na|x_i,y_i,s,t\in R,n\in\mathbb{Z}\}\)是\(R\)包含\(a\)的最小的理想，记为\((a)\)。\((a)\)称为\(R\)的元\(a\)生成的主理想。
推论一：设\(R\)是一个环，\(a\in R\)，则
(1)若\(R\)是交换环，则\((a)=\{ra+na|r\in R,n\in\mathbb{Z}\}\)
(2)若\(R\)是含幺环，则\((a)=\{\displaystyle\sum_{i=1}^mx_iay_i|x_1,y_i\in R\}\)
(3)若\(R\)是有单位元的交换环，则\((a)=\{ra|r\in R\}\)。
推论二：整数环\(\mathbb{Z}\)的每一个理想\(\mathscr{U}\)是它的主理想。
注解三：
(1)当\(k=0\)时，整数环\(\mathbb{Z}\)的主理想\((0)=\{r0|r\in\mathbb{Z}\}={0}\)是零理想
(2)当\(k=1\)时，整数环\(\mathbb{Z}\)的主理想\((1)=\{r1=r|r\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}\)是单位理想
命题三： \(\mathbb{Z}_n\)的理想都是主理想，并且\(\mathbb{Z}_n\)的理想的个数等于\(n\)的正因子的个数。
命题四：设\(R\)是一个环，\(a_1,a_2,\cdots,a_m\in R\)，\(\mathscr{U}=\{s_1+s_2+\cdots+s_m|s_i\in(a_i)\}\)则\(\mathscr{U}\)是\(R\)的包含\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)的最小理想，称\(\mathscr{U}\)为\(R\)的由\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)确定的生成理想，记为\((a_1,a_2,\cdots,a_m)\)。
注解四：更一般的结论是：在整数环中，生成理想\((k,l)\)等于主理想\((a)\)，并且\(a\)是\(k,l\)的最大公因数。